Клаудио Бохоркес учился у Б. Пергаменщикова и уже в молодые годы добился успеха на престижных международных конкурсах, среди которых Юношеский конкурс имени П. И. Чайковского в Москве и конкурс виолончелистов М. Ростроповича в Париже. В 2000 году он стал победителем Первого международного конкурса имени Пабло Казальса в Кронберге, где был также удостоен специального приза за лучшее исполнение камерной музыки и получил право в течение двух лет играть на виолончели Matteo Goffriller, принадлежавшей Казальсу. Он также завоевал первую премию на Международном конкурсе в Женеве.
Клаудио Бохоркес выступал с Дрезденской государственной капеллой, Оркестром лейпцигского Гевандхауса, оркестрами немецких радиостанций, Камерным оркестром Вюртемберга, Венским симфоническим оркестром, Оркестром де Пари, Филармоническим оркестром Радио Франции, Оркестром Тулузы, Оркестром Французской Швейцарии, цюрихским оркестром Тонхалле, базельским оркестром Collegium Musicum, оркестром «Академия св. Мартина-в-полях», Чешским филармоническим оркестром, Российским национальным оркестром, Варшавским филармоническим оркестром, Симфоническим оркестром японской телерадиокомпании NHK, Токийским филармоническим оркестром, Лос-Анджелесским филармоническим оркестром, Филадельфийским оркестром, симфоническими оркестрами Бостона, Чикаго, Кливленда и Детройта, Национальным симфоническим оркестром (США). Сотрудничал со знаменитыми дирижерами, среди которых: Даниэль Баренбойм, Рафаэль Фрюбек де Бургос, Джонатан Дарлингтон, Томас Даусгор, Кристоф Эшенбах, Ганс Граф, Рубен Газарян, Манфред Хонек, Яков Крейцберг, сэр Невилл Мэрринер, Эйдзи Оуэ, Кшиштоф Пендерецкий, Леонард Слаткин, Туган Сохиев, Лотар Загрошек, Дэвид Цинман.
Клаудио Бохоркес — желанный гость многих престижных фестивалей, среди которых Лондонский фестиваль, Фестиваль К. Пендерецкого в Варшаве, фестивали в Чикаго («Равиния»), Тэнглвуде и Аспене (США), фестивали Г. Кремера в Локенхаусе (Австрия) и Les Musiques в Базеле, фестиваль имени П. Казальса в Пуэрто-Рико, камерной музыки в Иерусалиме. Виолончелист много выступает в камерном ансамбле. Так в сезоне 2012/13 он давал концерты в Мадриде и Бильбао вместе с Йоргом Видманном (кларнет) и Катей Сканави (фортепиано), принимал участие в «Бетховенском марафоне» в берлинском Концертхаусе (исполнил фортепианные трио Бетховена с Вивианой Хагнер (скрипка) и Джонатаном Гиладом (фортепиано)).
Вместе с немецким художником Клаусом-Петером Кирхнером виолончелист осуществил проект «Пространство для Пабло Казальса» (Room for Pablo Casals), в котором сочетались слова, звуки и визуальные образы.
Недавно виолончелист с огромным успехом гастролировал в США (Вашингтон) и Латинской Америке с Национальным симфоническим оркестром США под управлением Кристофа Эшенбаха.
Среди концертов Клаудио Бохоркеса текущего сезона — выступления в берлинском Концертхаусе, в Пуэрто-Рико и Форт-Уэрте (США), на фестивалях имени Бетховена в Бонне и Варшаве, а также в Бремене с Кёльнским камерным оркестром под управлением Кристофа Поппена.
Клаудио Бохоркес осуществил записи на компакт-диски, а также на радио и телевидении. Участвовал в записи саундтрека к фильму Ten Minutes Older — The Cello, с музыкой Пола Инглишби.
Клаудио Бохоркес является профессором Высшей школы музыки и изобразительного искусства в Штутгарте и приглашенным профессором Высшей школы музыки имени Г. Эйслера в Берлине. Регулярно преподает на международных мастер-классах и академиях в Германии, Австрии, Швейцарии и Испании. Летом 2014 года Клаудио Бохоркес проводит мастер-классы в Венском университете музыки и исполнительского искусства и в зальцбургском «Моцартеуме».
Клаудио Бохоркес играет на виолончели G. B. Rogeri, предоставленной ему Банком Земли Баден-Вюртемберг.